Коротко об условии
Нужно доказать, что средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC, а E и F — середины боковых сторон AB и CD. Тогда EF — средняя линия трапеции.
- Пусть M — середина диагонали AC. В треугольнике ABC точки E и M — середины AB и AC, поэтому EM∥BC.
- В треугольнике ADC точки M и F — середины AC и CD, поэтому MF∥AD.
- Так как AD∥BC, прямые EM и MF проходят через M и параллельны одной и той же прямой, следовательно, это одна прямая. Значит, M лежит на EF.
- Аналогично, если N — середина диагонали BD, то EN∥AD и NF∥BC, поэтому N также лежит на EF.
Ответ
Обе середины диагоналей лежат на средней линии трапеции.
Что важно запомнить
Доказательство сводится к теореме о средней линии треугольника, применённой к треугольникам, на которые диагонали разбивают трапецию.