Коротко об условии
В ромбе MNPQ биссектриса MF треугольника MPQ пересекает PQ в F. Известно ∠NMQ=4α и FQ=a. Найдите площадь ромба.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Диагональ MP ромба делит угол M пополам, поэтому в треугольнике MPQ угол PMQ=2α. Так как MQ=PQ, угол MPQ тоже равен 2α.
- По теореме синусов MP/MQ=sin(180°−4α)/sin2α=sin4α/sin2α=2cos2α.
- По теореме о биссектрисе PF/FQ=MP/MQ=2cos2α. Поэтому PF=2a cos2α и сторона ромба PQ=a(1+2cos2α).
- Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла между сторонами: S=PQ² sin4α.
Ответ
S=a²(1+2cos2α)²·sin4α.
Что важно запомнить
В ромбе диагональ биссектрисой делит углы при своих концах, а площадь равна a²sinφ.