Коротко об условии
Для двух функций с квадратными корнями в формулах указать область определения и найти нули.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- а) y=(x−√(x+6))/(x+5). Для области определения нужны x+6≥0 и x≠−5, поэтому D=[−6;−5)∪(−5;+∞).
- Нуль: x−√(x+6)=0. Так как правая часть неотрицательна, x≥0. После возведения в квадрат: x²=x+6 ⇒ x²−x−6=0 ⇒ x=3 или x=−2. Условию x≥0 соответствует только x=3.
- б) y=(4x²+25x)/(2x−√(10−6x)). Для корня нужно x≤5/3. Знаменатель равен нулю при 2x=√(10−6x). Здесь x≥0; после возведения в квадрат получаем 4x²+6x−10=0, откуда x=1 или x=−5/2. Подходит только x=1, его исключаем.
- Поэтому D=(−∞;1)∪(1;5/3]. Нули определяются числителем x(4x+25)=0: x=0 и x=−25/4. Оба значения входят в область определения.
Ответ
а) D=[−6;−5)∪(−5;+∞), нуль x=3; б) D=(−∞;1)∪(1;5/3], нули x=0 и x=−25/4.
Что важно запомнить
При уравнениях вида A(x)=√B(x) после возведения в квадрат нужно учитывать исходное условие A(x)≥0, иначе появятся посторонние корни.