Коротко об условии
Доказать, что если f(x) — возрастающая функция, то уравнение f(x)=a имеет не более одного корня.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Предположим противное: существуют два различных корня x₁ и x₂. Пусть x₁<x₂.
- Так как функция возрастает, из x₁<x₂ следует f(x₁)<f(x₂).
- Но оба числа считаются корнями уравнения f(x)=a, значит f(x₁)=a и f(x₂)=a.
- Получается одновременно f(x₁)<f(x₂) и f(x₁)=f(x₂), что невозможно.
- Следовательно, двух различных корней быть не может.
Ответ
Уравнение f(x)=a имеет не более одного корня.
Что важно запомнить
Строго возрастающая функция принимает каждое своё значение не более одного раза.