Коротко об условии
Известно, что (3;2) решает (x+y√2)(x−y√2)=1. Доказать существование бесконечно многих других натуральных решений.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Уравнение равносильно x²−2y²=1.
- Пусть натуральная пара (x,y) уже является решением.
- Умножим число x+y√2 на 3+2√2: получим (3x+4y)+(2x+3y)√2.
- Обозначим x'=3x+4y, y'=2x+3y. Тогда x' и y' — натуральные и больше исходных.
- Кроме того, (x'²−2y'²)=(x²−2y²)(3²−2·2²)=1·1=1.
- Значит из каждого решения получается новое, большее. Например, после (3;2) получаем (17;12), затем (99;70), и так далее.
Ответ
Решений бесконечно много; например (3;2), (17;12), (99;70), …
Что важно запомнить
Рекуррентное преобразование (x,y)→(3x+4y, 2x+3y) сохраняет уравнение x²−2y²=1.