Коротко об условии
Доказать, что при всех допустимых значениях переменных значения выражений не зависят от переменных.
а) (2ab/(a²−b²)+(a−b)/(2a+2b))·2a/(a+b)+b/(b−a)
б) y/(x−y)−(x³−xy²)/(x²+y²)·(x/(x−y)²−y/(x²−y²))
б) y/(x−y)−(x³−xy²)/(x²+y²)·(x/(x−y)²−y/(x²−y²))
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Преобразуем выражения при допустимых значениях переменных и показываем, что переменные исчезают.
- а) 2ab/(a²−b²)+(a−b)/(2a+2b)=2ab/[(a−b)(a+b)]+(a−b)/[2(a+b)]. Приводим к общему знаменателю, затем умножаем на 2a/(a+b) и прибавляем b/(b−a).
- После последовательного сокращения получаем постоянное значение 1.
- б) x³−xy²=x(x−y)(x+y), x²−y²=(x−y)(x+y). Подставляем эти разложения во второе выражение и сокращаем общие множители.
- Оставшиеся слагаемые дают постоянное значение −1. Следовательно, оба выражения не зависят от переменных.
Ответ
а) 1; б) −1.
Что важно запомнить
При умножении и делении рациональных дробей сначала раскладывайте многочлены на множители, а сокращайте только общие множители.