Коротко об условии
Исследовать равенство √(a+a/b)=a√(a/b) для натуральных a,b и найти связь между a и b.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обе части равенства неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно исходному равенству.
- Получаем a+a/b=a²·(a/b)=a³/b.
- Умножаем равенство на b>0: ab+a=a³.
- Так как a>0, делим на a: b+1=a².
- Следовательно, необходимая и достаточная связь: b=a²−1. Для натурального b берём a≥2.
- Проверка: a=2 даёт b=3; a=3 даёт b=8; a=4 даёт b=15 — во всех случаях исходное равенство выполняется.
Ответ
Равенство верно тогда, когда b=a²−1 (a∈N, a≥2 для b∈N).
Что важно запомнить
Задача-исследование часто сводится к сравнению квадратов двух неотрицательных частей.