Коротко об условии
Доказать: 9a+1/a≥6 при a>0 и 25b+1/b≤−10 при b<0.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- а) Перенесём 6 в левую часть: 9a+1/a−6=(9a²−6a+1)/a=(3a−1)²/a.
- При a>0 знаменатель положителен, а квадрат (3a−1)²≥0. Поэтому (3a−1)²/a≥0, значит 9a+1/a≥6.
- б) Перенесём −10 в левую часть: 25b+1/b+10=(25b²+10b+1)/b=(5b+1)²/b.
- При b<0 знаменатель отрицателен, а числитель неотрицателен, значит дробь ≤0. Следовательно, 25b+1/b≤−10.
Ответ
Неравенства доказаны.
Что важно запомнить
Чтобы доказать дробное неравенство, полезно перенести всё в одну сторону и выделить полный квадрат в числителе.