Коротко об условии
Существует ли положительное число, сумма которого с обратным ему числом в 13 раз меньше суммы их кубов?
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть x>0. По условию 13(x+1/x)=x³+1/x³.
- Обозначим t=x+1/x. Тогда x³+1/x³=t³−3t.
- Получаем 13t=t³−3t, то есть t(t²−16)=0.
- Так как x>0, то t=x+1/x≥2, поэтому подходит только t=4.
- Решаем x+1/x=4: x²−4x+1=0.
- Отсюда x=2−√3 или x=2+√3; оба числа положительны.
Ответ
Да. Подходят числа 2−√3 и 2+√3.
Что важно запомнить
Для x>0 всегда x+1/x≥2, что помогает отбросить лишние значения новой переменной.