Макарычев, 9 класс: № 521 — решение

Коротко об условии

Доказать, что неравенство |x|+|y|≤1 задаёт на координатной плоскости ромб с вершинами на осях.

Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.

Решение по шагам

1. Разберём четыре четверти, потому что вид модулей зависит от знаков x и y.
2. При x≥0, y≥0 получаем x+y≤1, то есть y≤1−x. Это часть области под отрезком от (0;1) до (1;0).
3. При x≤0, y≥0: −x+y≤1, то есть y≤x+1. Получаем часть под отрезком от (−1;0) до (0;1).
4. При x≤0, y≤0: −x−y≤1, то есть y≥−x−1. При x≥0, y≤0: x−y≤1, то есть y≥x−1.
5. Все четыре границы входят, так как знак неравенства нестрогий. В итоге получается ромб (квадрат, повернутый на 45°) с вершинами (1;0), (0;1), (−1;0), (0;−1), вместе с внутренностью.

Ответ

Что важно запомнить

Для выражений с |x| и |y| удобно рассматривать четверти координатной плоскости отдельно.