Коротко об условии
Проверить первые случаи и доказать для любого натурального n формулу 1³+2³+…+n³=n²(n+1)²/4.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- При n=1,2,3 равенство выполняется: соответственно 1=1, 9=9 и 36=36.
- Пусть при n=k верно 1³+…+k³=k²(k+1)²/4.
- Добавим (k+1)³: Sₖ₊₁=k²(k+1)²/4+(k+1)³.
- Выносим (k+1)²: Sₖ₊₁=(k+1)²[k²+4(k+1)]/4.
- k²+4k+4=(k+2)², поэтому Sₖ₊₁=(k+1)²(k+2)²/4. Индукционный переход доказан.
Ответ
Формула доказана для всех n∈ℕ.
Что важно запомнить
В индукции нужны база, предположение для k и доказательство перехода k→k+1.