Коротко об условии
Доказать при a>0, b>0, c>0: ((a²+a+1)(b²+b+1)(c²+c+1))/(abc) ≥ 27.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Разобьём дробь на произведение: ((a²+a+1)/a)·((b²+b+1)/b)·((c²+c+1)/c).
- Для любого t>0 имеем (t²+t+1)/t = t+1+1/t = 3 + (t−1)²/t ≥ 3.
- Значит, каждый из трёх множителей не меньше 3. Их произведение не меньше 3·3·3=27.
- Равенство возможно одновременно только при a=b=c=1.
Ответ
Неравенство доказано; равенство достигается при a=b=c=1.
Что важно запомнить
Для t>0 выражение t+1+1/t удобно преобразовывать в 3+(t−1)²/t.