Коротко об условии
Найти натуральные n, при которых дробь (9n²+12n+12)/n имеет натуральное значение.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Преобразуем дробь: (9n²+12n+12)/n = 9n + 12 + 12/n.
- При натуральном n первые два слагаемых натуральные. Поэтому всё выражение будет натуральным тогда и только тогда, когда 12/n — целое число.
- Значит, n должно быть натуральным делителем числа 12. Его положительные делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- Каждое из этих значений действительно подходит, других натуральных делителей у 12 нет.
Ответ
n = 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Что важно запомнить
Если после деления многочлена получается целая часть плюс k/n, натуральность часто сводится к условию «n делит k».