Коротко об условии
Доказать, что куб полусуммы двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Пусть a>0, b>0. Нужно доказать ((a+b)/2)³≤(a³+b³)/2.
- Умножаем на 8>0: (a+b)³≤4(a³+b³).
- Перенесём левую часть вправо: 4(a³+b³)−(a+b)³ = 3a³+3b³−3a²b−3ab².
- Выносим 3 и раскладываем: 3[a³+b³−a²b−ab²]=3(a+b)(a−b)²≥0.
- Следовательно, требуемое неравенство верно.
Ответ
Неравенство доказано.
Что важно запомнить
После раскрытия куба сумма часто сворачивается в произведение (a+b)(a−b)².