Коротко об условии
При положительных a,b,c,d сравнить √((a+c)(b+d)) с √(ab)+√(cd).
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Обе части неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат.
- Левая часть в квадрате: (a+c)(b+d)=ab+ad+bc+cd. Правая: ab+cd+2√(abcd).
- После сокращения одинаковых слагаемых нужно доказать ad+bc≥2√(abcd).
- Но ad+bc−2√(abcd)=(√(ad)−√(bc))²≥0. Значит, исходное неравенство верно.
Ответ
Неравенство доказано.
Что важно запомнить
Перед возведением неравенства в квадрат убедитесь, что обе его части неотрицательны.