Коротко об условии
Построить и исследовать две кусочно заданные функции.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- а) y=x² при x≤1 и y=√x при x>1. Область определения — ℝ, множество значений — [0;+∞). Нуль: x=0. Функция положительна при x≠0, убывает на (−∞;0] и возрастает на [0;+∞). Минимум 0.
- В точке x=1 обе части дают значение 1, поэтому график соединяется без скачка.
- б) y=(x−1)² при x≤2 и y=−2x+5 при 2<x≤3. Область определения (−∞;3], множество значений [−1;+∞).
- Нули второй функции: x=1 для первой ветви и x=5/2 для второй. y>0 при x∈(−∞;1)∪(1;5/2), y<0 при x∈(5/2;3].
- Функция убывает на (−∞;1], возрастает на [1;2], затем снова убывает на [2;3]. Наименьшее значение −1 достигается при x=3.
Ответ
а) D=ℝ, E=[0;+∞), нуль 0, min=0; убывает на (−∞;0], возрастает на [0;+∞). б) D=(−∞;3], E=[−1;+∞), нули 1 и 5/2, min=−1; убывает на (−∞;1] и [2;3], возрастает на [1;2].
Что важно запомнить
Для кусочной функции свойства нужно анализировать на каждой ветви и затем объединять результаты с учётом точек стыка.