Коротко об условии
Корни x₁ и x₂ уравнения nx²−5x+1=0 удовлетворяют x₁⁻²+x₂⁻²=13. Найти n.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- По теореме Виета: x₁+x₂=5/n, x₁x₂=1/n.
- x₁⁻²+x₂⁻²=(x₁²+x₂²)/(x₁x₂)².
- x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=25/n²−2/n.
- Делим на (1/n)²: (25/n²−2/n)/(1/n²)=25−2n.
- По условию 25−2n=13, откуда n=6.
- Проверка: 6x²−5x+1=0 имеет корни 1/2 и 1/3; 4+9=13.
Ответ
n=6.
Что важно запомнить
Сумму обратных квадратов корней удобно выражать через сумму и произведение корней по теореме Виета.