Коротко об условии
Доказать, что четыре выражения со степенями принимают постоянные значения при любых целых значениях переменных.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- а) [2ᵐ·3ⁿ⁻¹−2ᵐ⁻¹·3ⁿ]/(2ᵐ·3ⁿ)=3⁻¹−2⁻¹=1/3−1/2=−1/6.
- б) [5ⁿ⁺¹·2ⁿ⁻²+5ⁿ⁻²·2ⁿ⁻¹]/10ⁿ⁻². Выносим 5ⁿ⁻²·2ⁿ⁻²: остаётся 5³+2=125+2=127.
- в) [5ᵐ·4ⁿ]/[5ᵐ⁻²·2²ⁿ+5ᵐ·2²ⁿ⁻¹]. Выносим в знаменателе 5ᵐ·2²ⁿ: получаем 1/(5⁻²+2⁻¹)=1/(1/25+1/2)=50/27.
- г) 21ⁿ/[3ⁿ⁻¹·7ⁿ⁺¹+3ⁿ·7ⁿ]. Выносим 3ⁿ·7ⁿ в знаменателе: получаем 1/(7/3+1)=3/10.
- Таким образом, переменные m и n после сокращения исчезают.
Ответ
а) −1/6; б) 127; в) 50/27; г) 3/10.
Что важно запомнить
Чтобы доказать независимость выражения от переменной, достаточно упростить его до постоянного числа.