Коротко об условии
Для y=(ax+b)/(cx+d), ad−bc≠0, доказать сохранение заданного отношения четырёх значений функции и четырёх аргументов.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Для любых допустимых xi и xj вычислим разность: yi−yj=[(axi+b)(cxj+d)−(axj+b)(cxi+d)]/[(cxi+d)(cxj+d)].
- После раскрытия скобок числитель равен (ad−bc)(xi−xj).
- Значит yi−yj=(ad−bc)(xi−xj)/[(cxi+d)(cxj+d)].
- Отсюда (y3−y1)/(y3−y2)=[(x3−x1)/(x3−x2)]·[(cx2+d)/(cx1+d)].
- Аналогично (y4−y1)/(y4−y2)=[(x4−x1)/(x4−x2)]·[(cx2+d)/(cx1+d)].
- При делении этих двух отношений общий множитель (cx2+d)/(cx1+d) сокращается, и остаётся требуемое равенство.
Ответ
Тождество доказано для всех значений, при которых входящие дроби определены.
Что важно запомнить
Ключевая формула: yi−yj=(ad−bc)(xi−xj)/[(cxi+d)(cxj+d)].