Коротко об условии
Доказать, что при любом натуральном n>2 корни уравнения x+1/x=n являются иррациональными.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- ОДЗ: x≠0. Умножаем на x: x²−nx+1=0.
- Корни равны x=(n±√(n²−4))/2.
- Достаточно доказать, что √(n²−4) иррационально.
- Предположим, что n²−4=k² для некоторого целого k≥0.
- Тогда (n−k)(n+k)=4. Оба множителя — положительные целые числа одной чётности.
- Единственная пара положительных делителей 4 одной чётности — 2 и 2, что даёт n=2.
- Это противоречит условию n>2. Следовательно, √(n²−4) иррационально, а вместе с ним иррациональны оба корня.
Ответ
При любом натуральном n>2 оба корня иррациональны.
Что важно запомнить
Для доказательства иррациональности корня удобно предположить, что подкоренное выражение — полный квадрат, и получить противоречие.