Коротко об условии
Доказать, что y=√(x²+2√2x+2)+√(x²−2√2x+2) при −√2≤x≤√2 является линейной функцией.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Подкоренные выражения — полные квадраты: x²+2√2x+2=(x+√2)², x²−2√2x+2=(x−√2)².
- Поэтому y=|x+√2|+|x−√2|.
- На промежутке −√2≤x≤√2 имеем x+√2≥0 и x−√2≤0.
- Значит |x+√2|=x+√2, а |x−√2|=√2−x.
- Сумма равна 2√2, то есть y=0·x+2√2.
Ответ
y=2√2 на всём промежутке [−√2;√2]; это линейная функция с k=0.
Что важно запомнить
Постоянная функция y=b является частным случаем линейной функции y=kx+b при k=0.