Коротко об условии
Определить число решений системы x(x−2)=y+12x, xy=5.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Из первого уравнения получаем y=x²−14x=x(x−14). Из второго: y=5/x, x≠0.
- При x<0 парабола даёт y=x(x−14)>0, а 5/x<0, поэтому пересечений нет.
- При 0<x<14 имеем x(x−14)<0, а 5/x>0 — пересечений также нет.
- При x>14 обе функции положительны. Функция x²−14x строго возрастает, а 5/x строго убывает.
- При x=14 первая функция равна 0, а вторая положительна; при x→+∞ первая стремится к +∞, а вторая — к 0.
- Значит, на промежутке x>14 графики пересекаются ровно один раз.
Ответ
Система имеет ровно одно решение.
Что важно запомнить
Чтобы определить число решений, не всегда нужно находить координаты точки пересечения: достаточно сравнить знаки и монотонность графиков.