Коротко об условии
Доказать, что сумма и произведение √(7+4√3) и √(7−4√3) — натуральные числа.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Заметим: (2+√3)²=7+4√3 и (2−√3)²=7−4√3.
- Оба числа 2±√3 положительны, поэтому √(7+4√3)=2+√3 и √(7−4√3)=2−√3.
- Сумма равна (2+√3)+(2−√3)=4.
- Произведение равно (2+√3)(2−√3)=4−3=1. Оба результата натуральные.
Ответ
Сумма равна 4, произведение равно 1.
Что важно запомнить
Сопряжённые выражения a+√b и a−√b особенно удобны: при сложении радикалы исчезают, при умножении получается разность квадратов.