Коротко об условии
Доказать, что x⁴−4x³−6x²−3x+9 не имеет отрицательных корней.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- Преобразуем многочлен: x⁴−4x³−6x²−3x+9=(x⁴−6x²+9)−(4x³+3x).
- Получаем P(x)=(x²−3)²−x(4x²+3).
- При x<0 имеем (x²−3)²≥0, 4x²+3>0 и −x>0.
- Поэтому −x(4x²+3)>0, а значит P(x)=(x²−3)²+[−x(4x²+3)]>0.
- При отрицательном x многочлен не может равняться нулю.
Ответ
Отрицательных корней нет.
Что важно запомнить
Важно: не x²−3 всегда неотрицательно, а его квадрат (x²−3)². Это и обеспечивает корректность доказательства.