Коротко об условии
Найти параметр a, при котором сумма квадратов корней x²−(a−2)x−a−1 минимальна.
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- По теореме Виета: x₁+x₂=a−2, x₁x₂=−a−1.
- x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=(a−2)²−2(−a−1).
- Упростим: a²−4a+4+2a+2=a²−2a+6=(a−1)²+5.
- Минимум достигается, когда (a−1)²=0, то есть при a=1.
- Дискриминант исходного уравнения D=(a−2)²+4(a+1)=a²+8>0 при любом a, поэтому два действительных корня существуют всегда.
Ответ
a=1; минимальная сумма квадратов корней равна 5.
Что важно запомнить
Перед применением Виета к задаче о действительных корнях полезно убедиться, что дискриминант неотрицателен.