Коротко об условии
При x=(a−b)/(a+b), y=(b−c)/(b+c), z=(c−a)/(c+a) и ненулевых знаменателях доказать (1+x)(1+y)(1+z)=(1−x)(1−y)(1−z).
Полная формулировка задания остаётся в учебнике; здесь условие передано кратко, своими словами.
Решение по шагам
- 1+x=2a/(a+b), а 1−x=2b/(a+b).
- 1+y=2b/(b+c), а 1−y=2c/(b+c).
- 1+z=2c/(c+a), а 1−z=2a/(c+a).
- Тогда левая часть равна 8abc/[(a+b)(b+c)(c+a)].
- Правая часть равна тому же выражению 8abc/[(a+b)(b+c)(c+a)].
- Следовательно, равенство доказано.
Ответ
Тождество доказано.
Что важно запомнить
После вычисления 1±x, 1±y, 1±z обе части превращаются в одно и то же произведение.